martes, 12 de marzo de 2013
INTRODUCCIÓN
En este blog trataré temas importantes para los jóvenes en el ámbito de matemáticas sobre todo en bachillerato, con la finalidad
de que puedan encontrar un espacio que les facilite su comprensión con
explicaciones claras y precisas sobre el tema . Lo que lograré, con su apoyo ya
que necesito que me ayuden a saber cuales son los temas de su interés en los comentarios
para poder tratar aquellos que tengan más demanda.
Como para después es tarde,
comencemos con el primer tema que elegí.
Serie y sucesiones
Se le llama sucesión al
conjunto de números reales ordenados, tal manera que es claro saber cual es el primer término,
el segundo y todos los términos sucesivos mediante una ley o formula que
permite obtener cualquier término. Estas sucesiones se clasifican en sucesiones
convergentes, las que tienen limite por que son finitas o contables, Y en
sucesiones divergentes es decir las que son infinitas o sabemos donde terminan.
Ejemplo: 2,4,6,8,10…
Regla : 2n (donde n
es el numero del termino/posición que se desea encontrar).
Este ejemplo se explicara en los subtemas consiguientes, por
lo pronto solo debe quedar en claro lo que es una sucesión.
Para el estudios de
las sucesiones, dividiremos estas esencialmente en 3:
1.- Aritméticas
2.- Geométricas
3.- Especiales
Progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión
de números en que la diferencia entre dos términos sucesivos, a excepción del
primero, es constante y se llama diferencia
común
2, 4,
6, 8, 10… en esta sucesión la diferencia común es de dos ya que “8-6=2”, “10-8=2”.
Por
lo tanto para encontrar un elemento es necesario es necesario sumar o restar el
valor contante. La fórmula para calcular
un valor cualquiera dentro de las
progresiones aritméticas está dada de la
siguiente manera.
an = a1+d(n-1)
donde:
an=Termino cualquiera
n=posición del termino que se desea encontrar
d=diferencia común entre termino y termino
a1=primer término de la sucesión
Ejemplo
Encuentra el termino 30 de la progresión: 2, 5, 8, 11…
Diferencia común 5-2= 3
n= 30
a1=2
Si se sustituye los términos en
la fórmula:
a30
= 2+3(30-1) = 89
Formulas
relacionadas:
a1=an-d(n-1)
d= (an-a1/n-1)
n= (an-a1/d)+1
Series aritméticas
En
matemáticas, una serie es la
suma de los términos de una sucesión. Si
nos referimos a una serie aritmética es la suma
de todos los términos pertenecientes a una progresión aritmética, la fórmula
es:
Sn = n(a1+an)/2
Sn= Suma
de los términos de una sucesión aritmética.
n= números dela
sucesión.
a1=primer
término de la sucesión
an=n-ésimo
término de la sucesión (Posición n )
Ejemplo:
Obtener
primero an como vimos en la publicación anterior:
a1=
2, d=3, n=10
a10=2+3(10-1)=
29
Para
obtener la suma de los 10 términos se aplica la formula de la parte de arriba:
S10=
10(2+29)/2
(31)10=310
310/2=155
S10=155
Ejercicios
Encuentra
an y sn en las siguientes progresiones aritméticas
1.-a1=5 n=10 d=-12
2.-a1=6 n=15
d=3/5
3.-a1=1 n=28 d=5/10
4.-a1=-2 n=35
d=2
5.-a1=5 n=10 d=6
6.-a1=7 n=15 d=4
7.-a1=6 n=50 d= -6
Progresiones Geométricas
Una
progresión geométrica es una sucesión de números donde el cociente entre los
dos términos es constante y se llama razón común. Esta se representa como r.
Los
elementos de una serie geométrica prácticamente son los mismos que los de las
progresiones aritmética, la progresión es diferente porque el valor entre
términos sucesivos es una razón en vez
de una diferencia común.
Ejemplo:
Sucesión geométrica:
2, 4, 8, 16, 32, 64
4/2=2, 8/4=2, 16/8=2,
32/16, 64/32=2
Razón (r) = 2
Para calcular
cualquier término de una sucesión geométrica la formula es:
an= a1rn-1
an= ultimo
término de la sucesión
n= numero de términos
que se pide encontrara
r= razón común entre
término y término
a1=primer
término de la sucesión
Encuentre el término 8
de la sucesión:
3, 6, 12, 24, 48…
Primero se determina
la razón común:
6/3=2
d=2
Después identifica
datos para la formula:
A1=3, n=8
Al
sustituir:
a8=
(3)(2)8-1
a8=
(3)(2)7
a8=
(3)(128)
a8=
384
Serie Geométrica
Para
encontrar el valor de una serie geométrica, se aplica la formula:
Sn= anr-a1/r-1
Ejemplo:
Encuentra
el valor de la suma de los primeros seis términos de la progresión geométrica
3, 12, 48…
Identificamos
los datos
a1=
3, n=6, r=12/3=4
Sustitución
de la formula
a6=
(3)(4)6-1
a6=3(1024)
a6=
3072
Entonces
ahora se obtiene la suma con la formula mencionada en la parte superior de esta
publicación:
S6 =3072(4)-3/4-1
S6=12288/3
S6=4096
S6=12288/3
S6=4096
Ejercicios
Encuentra
la suma de las siguientes progresiones geométricas:
1.-
Los primeros 8 términos de 5, -10, 20
2.
Los primeros 12 términos de 5, 20, 80
3.-
Los primeros 5 términos 3, -27, 243
4.-
Los primeros 15 términos de 100, 50, 25
5.-Los
primeros 6 términos de 18, 12, 8
6.-Los
primeros 10 términos de -1,1/2, -1/4
Resolver:
La señora Luisa pide un presupuesto para
reparar 8 joyas. El encargado de la joyería dice que le cobrara 6 por la
primera joya y por cada pieza sucesiva lo triple de la anterior.
¿Cuánto
le cobrara el joyero a la señora Luisa?
Sucesiones especiales
Números triangulares
1, 3, 6,
10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
|
Esta sucesión se genera
a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
- El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
- y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
1, 4, 9,
16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
|
El siguiente número se
calcula elevando al cuadrado su posición.
La regla es xn = n2
Números cúbicos
1, 8, 27,
64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
|
El siguiente número se
calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
Sucesión de Fibonacci.
0, 1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
|
El siguiente número se
calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 +
xn-2
Esta regla es
interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º
término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 +
x4 = 5 + 3 = 8
Sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci es una progresión muy interesante, ya que tiene un comportamiento curioso,
como hemos visto antes para obtener el siguiente número se necesita sumar los
dos anteriores, sin embargo no precisamente es necesario ir realizando toda la sucesión
para por ejemplo obtener el termino 50 o 60 o cualquier otro.
¿Quieren saber cómo?
Aquí les dejo el
link de la página que contiene este y otros datos sobre esta peculiar sucesión.
Triángulo de pascal
El triángulo de
pascal es una herramienta matemática útil en la resolución de problemas de
distintas áreas, por ejemplo conteo, combinaciones, permutaciones,
sucesiones, etc. Por tal razón a continuación podrán encontrar un link que los
llevara a una página que ya habíamos visitado antes, donde podrán encontrar en
que consiste esta herramienta y algunos ejemplos de su utilidad.
Verdaderamente es
una pauta que recomiendo por su multifuncionalidad además de tener una
estructura sencilla y fácil de comprender, espero y a ustedes les pueda servir
para manejar con más facilidad el tema recién abordado “series y sucesiones”
Hasta la próxima.
Conclusión
Las sucesiones y
series están presentes en nuestra vida cotidiana aunque en ocasiones ni
siquiera lo notemos, sin embargo es muy útil saber trabajar con ellas poder
manejarlas a tu beneficio ya que tienen una gran importancia y utilidad, que
puede ir desde obtener cuentas correctas de un pago hasta importantes
movimientos monetarios o de productos que pueden cambiar el rumbo de empresas e
incluso países en el mundo de los negocios. Además son empleadas en un sin fin
de aspectos por ejemplo son esenciales en programación, en física, en algunos aspectos
de biología, arquitectura, ingenierías, muchos más. Este es el primer tema en
mi blog y me da gusto saber que puedo compartir mi conocimiento y gusto por
esta ciencia que son las matemáticas, y me entusiasma saber cómo puedo estar
ayudando a las personas que así lo requieran, porque al final el conocimiento
funciona solo si se comparte. Espero y me sigan visitando y participando en el
blog que desde hoy no solo es mío sino de todas las personas que en él nos
involucremos.
“Compartiendo las
Matemáticas”
sábado, 9 de marzo de 2013
Referencias
1.-http://www.disfrutalasmatematicas.com
2.-http://www.matematicasuan.com.mx/presentaciones-de-algunas-de-las-ponencias-presentadas-en-el-3er-congreso-matem%C3%A1ticas-para-todos/
3.-http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/Grupo1B/series.pdf
4.-Méndez Arturo, matemáticas 1,ED santillana,2da ed,2010
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