INTRODUCCIÓN

En este blog trataré temas importantes para los jóvenes en el ámbito de matemáticas  sobre todo en bachillerato, con la finalidad de que puedan encontrar un espacio que les facilite su comprensión con explicaciones claras y precisas sobre el tema . Lo que lograré, con su apoyo ya que necesito que me ayuden a saber cuales son los temas de su interés en los comentarios para poder tratar aquellos que tengan más demanda. 

Como para después es tarde, comencemos con el primer tema que elegí.

 Serie y sucesiones

Se le llama sucesión al conjunto de números reales ordenados, tal manera  que es claro saber cual es el primer término, el segundo y todos los términos sucesivos mediante una ley o formula que permite obtener cualquier término. Estas sucesiones se clasifican en sucesiones convergentes, las que tienen limite por que son finitas o contables, Y en sucesiones divergentes es decir las que son infinitas o sabemos donde terminan.

Ejemplo: 2,4,6,8,10…

Regla : 2n (donde n es el numero del termino/posición que se desea encontrar).

Este ejemplo se  explicara en los subtemas consiguientes, por lo pronto solo debe quedar en claro lo que es una sucesión.

Para el estudios de las sucesiones, dividiremos estas esencialmente en 3:

1.- Aritméticas

2.- Geométricas

3.- Especiales

Progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión de números en que la diferencia entre dos términos sucesivos, a excepción del primero, es constante y se llama diferencia común

2, 4, 6, 8, 10… en esta sucesión la diferencia común es de dos ya que “8-6=2”, “10-8=2”.

Por lo tanto para encontrar un elemento es necesario es necesario sumar o restar el valor contante. La fórmula para calcular  un valor cualquiera dentro de  las progresiones aritméticas  está dada de la siguiente manera.

a_n = a₁+d(n-1)

donde:

a_n=Termino cualquiera

n=posición del termino que se desea encontrar

d=diferencia común entre termino y termino

a₁=primer término de la sucesión

Ejemplo

Encuentra el termino 30 de la progresión:          2, 5, 8, 11…

Diferencia común 5-2= 3

n= 30

a₁=2

                 Si se sustituye los términos en la fórmula:

a₃₀ =  2+3(30-1) = 89

Formulas relacionadas:

a₁=a_n-d(n-1)

d= (a_n-a₁/n-1)

n= (a_n-a₁/d)+1

Series aritméticas

En matemáticas, una serie es la suma  de los términos de una sucesión. Si nos referimos a una serie aritmética es la suma de todos los términos pertenecientes a una progresión aritmética, la fórmula es:

Sn = n(a₁+a_n)/2

S_n= Suma de los términos de una sucesión aritmética.

n= números dela sucesión.

a₁=primer término de la sucesión

a_n=n-ésimo término de la sucesión (Posición n )

Ejemplo:

Encuentra la suma de la sucesión 2, 5, 8, 11, 14, 17 hasta el término 10.

Obtener primero a_n como vimos en la publicación anterior:

a₁= 2, d=3, n=10

a₁₀=2+3(10-1)= 29

Para obtener la suma de los 10 términos se aplica la formula de la parte de arriba:

S₁₀= 10(2+29)/2

(31)10=310

310/2=155

S₁₀=155

Ejercicios

Encuentra a_n y s_n en las siguientes progresiones aritméticas

1.-a₁=5            n=10         d=-12

2.-a₁=6            n=15          d=3/5

3.-a₁=1            n=28         d=5/10

4.-a₁=-2          n=35         d=2

5.-a₁=5            n=10          d=6

6.-a₁=7          n=15     d=4

7.-a₁=6            n=50         d= -6

Cuando relacionas  los datos de una serie aritmética en una gráfica, esta siempre tiene que resultar una linea recta ya que la diferencia entre términos siempre es la misma.

Ejemplo:

Progresiones Geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números donde el cociente entre los dos términos es constante y se llama razón común. Esta se representa como r.

Los elementos de una serie geométrica prácticamente son los mismos que los de las progresiones aritmética, la progresión es diferente porque el valor entre términos sucesivos es una razón  en vez de una diferencia común.

Ejemplo:

Sucesión geométrica: 2, 4, 8, 16, 32, 64

4/2=2, 8/4=2, 16/8=2, 32/16, 64/32=2

Razón (r) =  2

Para calcular cualquier término de una sucesión geométrica la formula es:

a_n= a₁r^n-1

a_n= ultimo término de la sucesión

n= numero de términos que se pide encontrara

r= razón común entre término y término

a₁=primer término de la sucesión 

Encuentre el término 8 de la sucesión:

3, 6, 12, 24, 48…

Primero se determina la razón común:

6/3=2

d=2

Después identifica datos para la formula:

A1=3, n=8

Al sustituir:

a₈= (3)(2)^8-1

a₈= (3)(2)⁷

a₈= (3)(128)

a₈= 384

Serie Geométrica

Para encontrar el valor de una serie geométrica, se aplica la formula:

S_n= a_nr-a₁/r-1

Ejemplo:

Encuentra el valor de la suma de los primeros seis términos de la progresión geométrica 3, 12, 48…

Identificamos los datos

a1= 3, n=6, r=12/3=4

Sustitución de la formula

a₆= (3)(4)^6-1

a₆=3(1024)

a₆= 3072

Entonces ahora se obtiene la suma con la formula mencionada en la parte superior de esta publicación:

S6 =3072(4)-3/4-1

S₆₌12288/3

S₆₌₄₀₉₆

Ejercicios

Encuentra la suma de las siguientes progresiones geométricas:

1.- Los primeros 8 términos de 5, -10, 20

2. Los primeros 12 términos de 5, 20, 80

3.- Los primeros 5 términos 3, -27, 243

4.- Los primeros 15 términos de 100, 50, 25

5.-Los primeros 6 términos de 18, 12, 8

6.-Los primeros 10 términos de -1,1/2, -1/4

Resolver:

 La señora Luisa pide un presupuesto para reparar 8 joyas. El encargado de la joyería dice que le cobrara 6 por la primera joya y por cada pieza sucesiva lo triple de la anterior.

¿Cuánto le cobrara el joyero a la señora Luisa? 

Una sucesión geométrica siempre creará una gráfica con curva, por tener como diferencia una razón.

 Ejemplo: 

Sucesiones especiales

Números triangulares 

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla

x_n = n(n+1)/2

Ejemplo:

• El quinto número triangular es x₅ = 5(5+1)/2 = 15,
• y el sexto es x₆ = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. 

La regla es x_n = n²

Números cúbicos 

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. 

La regla es x_n = n³

Sucesión de Fibonacci.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)

La regla es x_n = x_n-1 + x_n-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.

Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

x₆ = x_6-1 + x_6-2 = x₅ + x₄ = 5 + 3 = 8

Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una progresión  muy interesante, ya que tiene un comportamiento curioso, como hemos visto antes para obtener el siguiente número se necesita sumar los dos anteriores, sin embargo no precisamente es necesario ir realizando toda la sucesión para por ejemplo obtener el termino 50 o 60 o cualquier otro.

¿Quieren saber cómo?

Aquí les dejo el link de la página que contiene este y otros datos sobre esta peculiar sucesión.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-sucesion.html

Triángulo de pascal

El triángulo de pascal es una herramienta matemática útil en la resolución de problemas de distintas áreas, por ejemplo conteo, combinaciones, permutaciones, sucesiones, etc. Por tal razón a continuación podrán encontrar un link que los llevara a una página que ya habíamos visitado antes, donde podrán encontrar en que consiste esta herramienta y algunos ejemplos de su utilidad.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/triangulo-pascal.html

Verdaderamente es una pauta que recomiendo por su multifuncionalidad además de tener una estructura sencilla y fácil de comprender, espero y a ustedes les pueda servir para manejar con más facilidad el tema recién abordado “series y sucesiones”

Hasta la próxima.

Conclusión

Las sucesiones y series están presentes en nuestra vida cotidiana aunque en ocasiones ni siquiera lo notemos, sin embargo es muy útil saber trabajar con ellas poder manejarlas a tu beneficio ya que tienen una gran importancia y utilidad, que puede ir desde obtener cuentas correctas de un pago hasta importantes movimientos monetarios o de productos que pueden cambiar el rumbo de empresas e incluso países en el mundo de los negocios. Además son empleadas en un sin fin de aspectos por ejemplo son esenciales en programación, en física, en algunos aspectos de biología, arquitectura, ingenierías, muchos más. Este es el primer tema en mi blog y me da gusto saber que puedo compartir mi conocimiento y gusto por esta ciencia que son las matemáticas, y me entusiasma saber cómo puedo estar ayudando a las personas que así lo requieran, porque al final el conocimiento funciona solo si se comparte. Espero y me sigan visitando y participando en el blog que desde hoy no solo es mío sino de todas las personas que en él nos involucremos.  

“Compartiendo las Matemáticas”

Referencias

1.-http://www.disfrutalasmatematicas.com 2.-http://www.matematicasuan.com.mx/presentaciones-de-algunas-de-las-ponencias-presentadas-en-el-3er-congreso-matem%C3%A1ticas-para-todos/ 3.-http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/Grupo1B/series.pdf 4.-Méndez Arturo, matemáticas 1,ED santillana,2da ed,2010

Hola como están, bienvenidos a su pagina favorita "compartiendo las matemáticas"