Cuando relacionas  los datos de una serie aritmética en una gráfica, esta siempre tiene que resultar una linea recta ya que la diferencia entre términos siempre es la misma.

Ejemplo:

Progresiones Geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números donde el cociente entre los dos términos es constante y se llama razón común. Esta se representa como r.

Los elementos de una serie geométrica prácticamente son los mismos que los de las progresiones aritmética, la progresión es diferente porque el valor entre términos sucesivos es una razón  en vez de una diferencia común.

Ejemplo:

Sucesión geométrica: 2, 4, 8, 16, 32, 64

4/2=2, 8/4=2, 16/8=2, 32/16, 64/32=2

Razón (r) =  2

Para calcular cualquier término de una sucesión geométrica la formula es:

a_n= a₁r^n-1

a_n= ultimo término de la sucesión

n= numero de términos que se pide encontrara

r= razón común entre término y término

a₁=primer término de la sucesión 

Encuentre el término 8 de la sucesión:

3, 6, 12, 24, 48…

Primero se determina la razón común:

6/3=2

d=2

Después identifica datos para la formula:

A1=3, n=8

Al sustituir:

a₈= (3)(2)^8-1

a₈= (3)(2)⁷

a₈= (3)(128)

a₈= 384

Serie Geométrica

Para encontrar el valor de una serie geométrica, se aplica la formula:

S_n= a_nr-a₁/r-1

Ejemplo:

Encuentra el valor de la suma de los primeros seis términos de la progresión geométrica 3, 12, 48…

Identificamos los datos

a1= 3, n=6, r=12/3=4

Sustitución de la formula

a₆= (3)(4)^6-1

a₆=3(1024)

a₆= 3072

Entonces ahora se obtiene la suma con la formula mencionada en la parte superior de esta publicación:

S6 =3072(4)-3/4-1

S₆₌12288/3

S₆₌₄₀₉₆

Ejercicios

Encuentra la suma de las siguientes progresiones geométricas:

1.- Los primeros 8 términos de 5, -10, 20

2. Los primeros 12 términos de 5, 20, 80

3.- Los primeros 5 términos 3, -27, 243

4.- Los primeros 15 términos de 100, 50, 25

5.-Los primeros 6 términos de 18, 12, 8

6.-Los primeros 10 términos de -1,1/2, -1/4

Resolver:

 La señora Luisa pide un presupuesto para reparar 8 joyas. El encargado de la joyería dice que le cobrara 6 por la primera joya y por cada pieza sucesiva lo triple de la anterior.

¿Cuánto le cobrara el joyero a la señora Luisa? 

Una sucesión geométrica siempre creará una gráfica con curva, por tener como diferencia una razón.

 Ejemplo: 

Sucesiones especiales

Números triangulares 

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla

x_n = n(n+1)/2

Ejemplo:

• El quinto número triangular es x₅ = 5(5+1)/2 = 15,
• y el sexto es x₆ = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. 

La regla es x_n = n²

Números cúbicos 

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. 

La regla es x_n = n³

Sucesión de Fibonacci.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)

La regla es x_n = x_n-1 + x_n-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.

Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

x₆ = x_6-1 + x_6-2 = x₅ + x₄ = 5 + 3 = 8

Sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una progresión  muy interesante, ya que tiene un comportamiento curioso, como hemos visto antes para obtener el siguiente número se necesita sumar los dos anteriores, sin embargo no precisamente es necesario ir realizando toda la sucesión para por ejemplo obtener el termino 50 o 60 o cualquier otro.

¿Quieren saber cómo?

Aquí les dejo el link de la página que contiene este y otros datos sobre esta peculiar sucesión.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-sucesion.html